В методах Рунге-Кутта значение y_k+1 зависело только от информации в предыдущей точке x_k . Кажется вполне вероятным, что можно добиться большей точности, если использовать информацию о нескольких предыдущих точках x_k , x_k-1 , … Именно так и поступают в многошаговых методах.

Большой и важный класс многошаговых методов возникает на основе следующего подхода. Если подставить в формулу (1) точное решение y(x) и проинтегрировать это уравнение на отрезке [x_k , x_k+1 ] , то получим

где в последнем члене предполагаем, что p(x) -полином, аппроксимирующий f(x,y(x)) . Чтобы построить этот полином, предположим, что y_k , y_k-1 , … , y_k-N -приближения к решению в точках x_k , x_k-1 , … , x_k-N . Мы по-прежнему считаем, что узлы расположены равномерно с шагом h . Тогда f_i є f(x_i , y_i ) (i = k, k-1, …, k-N) есть приближения к f(x,y(x)) в точках x_k , x_k-1 , … , x_k-N , и мы в качестве p возьмём полином для набора данных (x_i , f_i ) (i = k, k-1, …, k-N) . Таким образом, p -полином степени N , удовлетворяющий условиям p(x_i ) = f_i , (i = k, k-1, …, k-N) . В принципе, можно проинтегрировать этот полином явно, что ведёт к следующему методу:

В простейшем случае, когда N=0 , полином p есть константа, равная f_k ,и (4) превращается в обычный метод Эйлера. Если N=1 , то p есть линейная функция, проходящая через точки (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_k , f_k ) ,т.е.

p(x)= -(x-x_k ) f_{k -1} /h + (x-x_{k -1} ) f_k /h .

Интегрируя этот полином от x_k до x_{k +1} , получаем следующий метод:

который является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух точках x_k и x_{k -1} . Аналогично, если N=2 , то p есть квадратичный полином, интерполирующий данные (x_{k -2} , f_{k -2} ) , (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_k , f_k ) , а соответствующий метод имеет вид

Если N=3 , то интерполяционный полином является кубическим, а соответствующий метод определяется формулой:

Формулы (5)-(7) известны как явные методы Адамса (Адамса- Башфорта) , т.к. они для нахождения y_k+1 не требуют решения никаких уравнений. Метод (5) имеет второй порядок точности, поэтому его называют методом второго порядка. Аналогично, методы (6) и (7) называют соответственно методами Адамса- Башфорта третьего и четвёртого порядков.

Методы Адамса- Башфорта используют уже сосчитанные значения в точке x_k и в предыдущих точках. В принципе, при построении интерполяционного полинома мы можем использовать и точки x_k+1 , x_k+2 и т.д. Простейший случай при этом состоит в использовании точек x_k+1 , x_k , … , x_k-N и построении интерполяционного полинома степени N+1 , удовлетворяющего условиям p(x_i )= f_i (I = k+1, k, …, k-N) . При этом возникает класс методов, изветных как неявные методы Адамса (Адамса- Моултона) . Если N=0 , то p - линейная функция, проходящая через точки (x_k , f_k ) и (x_k+1 , f_k+1 ) , и соответствующий метод

является методом Адамса- Моултона второго порядка. Если N=2, то p- кубический полином, построенный по точкам (x_k+1 , f_k+1 ) , (x_k , f_k ), (x_{k -1} , f_{k -1} ) и (x_{k -2} , f_{k -2} ), и соответствующий метод

Заметим теперь, что в формулах (8) и (9) значение f_k+1 неизвестно. Дело в том, что для вычисления f(x_k+1 , y_k+1 )= f_k+1 нужно знать значение y_k+1 , которое само пока является неизвестным. Следовательно методы Адамса- Моултона определяют y_k+1 только неявно. Так, например, соотношение (8) действительно является уравнением

относительно неизвестного значения y_k+1 . То же самое справедливо и относительно (9). В силу этого методы Адамса- Моултона называются неявными. В то же время методы Адамса- Башфорта называют явными, поскольку они для нахождения значения y_k+1 не требуют решения никаких уравнений.